基准条件：h(x1，...xn，0)=f(x1，...，xn)

递归条件: h(x1，...，xn，y+1)=g(x1，...，xn，y，h(x1，...，xn，y))

回到我们的加法器add：

add:N2→N

add(x，y)=x+y=ρ1(f，g)

基准条件：add(x，0)=f(x)=proj11

递归条件：add(x，y+1)=g(x，y，add(x，y))=succ(add(x，y))，g=succ·[proj33]

add=ρ1(proj11，succ·[proj33]）

完美无瑕。

类似地，乘法器mult=ρ1(zero，add·[proj13，proj33])

前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归ρ这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。

那么“偏函数”呢？

构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。

如果我们有一个函数f:N^n+1—N (这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了)，具体的f(a1，...an，x)，其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。

那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出

比如f(5，4，3，2，1，0)=0

如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

比如f(5，4，3，2，1，1)=1

假设我们有一个投影函数长这样：

proj21:N2—N (proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了)

那么μ^1proj21:N—N

举个栗子：

假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ^1proj21(1)，其中1是固定参数。

如果我们穷举一下可变参数，就会发现：

proj21(1，0)=1

proj21(1，1)=1

我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。也就是说，对于μ^1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化操作，我们成功地构建了一个偏函数。

加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。除法div需要用最小化操作来构建。

假设，我们收到两参数a和b，想求a/b，那么其中存在如下关系：

a=q×b+r，其中0≤r＜b

我们想要的就是满足式子q×b≤a的最大的q，这等同于满足(q+1)×b＞a，于是带余除法被转化为了一个最小化问题：

找到最小的q使其满足(q+1)×b＞a

也就是构造一个函数f:N^3—N

f(a，b，q)=1如果(q+1)b≤a，=0如果(q+1)b＞a

f(a，b，q)=lessthanequal(mult(succ(q)，b)，a)

f=lessthaneual·[mult·[succ·[proj33]，proj32]，proj31]

其中lessthanequal=iszero·sub

iszero=sub·[succ·zero，proj11]

sub是减法器

对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。

验证一下：

f(8，5，0)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

f(8，5，1)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=0，最小，所以1是输出。

div(8，5)=8//5=1没错，十分完美。

如果我们想计算一下8//0:

f(8，0，0)=lessthanequal(mult(1，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

f(8，0，1)=lessthanequal(mult(2，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

无论我们给f(8，0，x)传入什么x，都找不到最小的x，所以div(8，0)=8//0无解，符合现实。

如果把最小化操作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。

好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。

至于无限循环怎么制造出来，从μ^1proj21(1)和div的栗子都可以看出来，如果最小化操作找不到最小值，就永远不会给出输出，这相当于while语句的功能。

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