第 217 章 深入椭圆的世界

几日之后，戴浩文先生再次踏入讲堂。学生们早已整齐端坐，眼中满是对知识的渴望。

戴浩文清了清嗓子，说道：“今日，吾等继续探究椭圆之奥秘。上次所讲，诸位对椭圆已有初步认知，今次着重讲解椭圆之焦点与三角形性质。”

李华拱手问道：“先生，这椭圆的焦点究竟有何奇妙之处？”

戴浩文微微一笑，道：“李华，且听吾道来。椭圆之焦点，乃椭圆性质之关键所在。设椭圆两焦点分别为 F?、F?，椭圆上任意一点为 P，便可得三角形 PF?F?。此三角形之中，存有诸多有趣之性质。”

王强急切问道：“先生，愿闻其详。”

戴浩文踱步至黑板前，边画边说：“其一，三角形 PF?F?之周长，恒为定值，其值为 2a + 2c，其中 a 为长半轴，c 为焦距之半。”

赵婷疑惑道：“先生，此定值如何得来？”

戴浩文耐心解释：“赵婷，汝且思之。椭圆上一点 P 至两焦点距离之和为 2a，而两焦点间距离为 2c，故周长为 2a + 2c。”

张明思索片刻，道：“先生，那此三角形之面积可有定法计算？”

戴浩文点头道：“张明此问甚妙。三角形 PF?F?之面积，可由公式 S = b2 × tan(θ/2)计算，其中 θ 为角 F?PF?。”

李华挠头道：“先生，这θ又如何得知？”

戴浩文笑曰：“李华莫急，θ虽难求，然若已知点 P 坐标及椭圆方程，通过向量之法，可算得角 F?PF?之余弦值，进而得θ。”

王强又道：“先生，若已知三角形面积，能否反推椭圆之某些参数？”

戴浩文赞许道：“王强能作此想，实乃善思。若已知面积，结合其他条件，或可推知椭圆之某些参数。”

此时，学生们皆陷入沉思，各自在脑中推演。

戴浩文见状，说道：“吾再举一例，助汝等理解。假设有一椭圆，焦点 F?(-2, 0)，F?(2, 0)，且三角形 PF?F?面积为 3，点 P 纵坐标为 1，试求椭圆方程。”

学生们纷纷提笔计算。

过了片刻，赵婷道：“先生，学生算得 c = 2，由面积可得底边 F?F?长度为 4，高为 1，故三角形面积为 2，与题中不符，是否有误？”

戴浩文摇头道：“赵婷，再思之。面积应为 1/2 × 4 × 1 = 2 ，然题中面积为 3，可知另有玄机。”

李华恍然道：“先生，莫非与角 F?PF?有关？”

戴浩文笑道：“李华聪慧，正是如此。汝等当继续深究。”

戴浩文又道：“再论椭圆焦点与准线之关系。椭圆之准线，与焦点紧密相连。准线方程为 x = ± a2/c 。”

王强问道：“先生，此准线有何用途？”

戴浩文回道：“王强，准线之于椭圆，犹如规矩之于方圆。椭圆上一点至焦点与至准线之距离，有固定比例，此比例即为离心率 e 。”

张明道：“先生，如此复杂，实难一时领会。”

戴浩文鼓励道：“张明，学问之道，贵乎持之以恒。多加思索，定能通透。”

戴浩文继续讲解：“且说这椭圆焦点与三角形性质，若三角形 PF?F?为等腰三角形，又当如何？”

学生们再度陷入沉思。

李华率先道：“先生，若 PF? = PF? ，是否可推出点 P 在椭圆短轴顶点？”

戴浩文点头道：“李华所言不差。若 PF? = F?F? 或 PF? = F?F? ，又当如何？”