第 202 章 二项式定理之实例深究

数日已过，戴浩文于讲堂之上，再论二项式定理之妙处。其身着素袍，手持戒尺，目光炯炯，环视诸生。

言曰：“前番已授汝等二项式定理之要义，今当以实例详析，以增汝等之领悟。”

遂于黑板书一题：“今有一商人，欲购货物，其价依二项式(a + b)^n 而定，其中 a 为原价，b 为涨幅，n 为购货之次数。若原价为十金，涨幅为三金，购货三次，试求其总价几何？”

诸生见此题，皆低头沉思，奋笔疾算。

少顷，一生起身答曰：“先生，依二项式定理展开，可得总价为 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ，代入数值，即为 10^3 + 3×10^2×3 + 3×10×3^2 + 3^3 = 1000 + 900 + 270 + 27 = 2197 金。”

戴浩文微微颔首，曰：“善。然此仅为其一例，再观此题。”

又书一题：“某工匠制器，其成功率为(a + b)^n ，其中 a 为成功之概率，b 为失败之概率，n 为制器之数。若成功概率为半，制器五次，求至少成功三次之概率。”

诸生闻此，交头接耳，讨论纷纷。

一聪慧之生言道：“先生，此当用二项式定理分别算出成功三次、四次、五次之概率，再相加可得。”

戴浩文笑曰：“然也。汝等速速计算。”

诸生遂埋头苦算，良久，得数而出。

戴浩文曰：“善哉。今再看此例。”

复书一题：“一军出征，其胜败之数依二项式而定。若胜之概率为七成，出战八次，求胜五次之概率及期望之胜数。”

诸生观此题，难度更甚，然未有退缩之意，皆全力思索。

一学子率先算出：“先生，胜五次之概率为 C(8, 5)×0.7^5×0.3^3 ，期望之胜数为 8×0.7 = 5.6 。”

戴浩文抚须赞曰：“妙极！由此可见，二项式定理于此类问题之解决，功莫大焉。”

又道：“且看此题。古之农田，稻麦之收成因年而异，其丰收之率若以二项式表之。设初年均收为百石，丰年增率为二成，灾年减率为一成，历经十载，试算总收之数。”

众学子绞尽脑汁，推演算式。

有一生答曰：“先生，依理展开计算，可得总收约为千五百石。”

戴浩文曰：“差强人意。当更细心思之。”

继而再出一题：“昔有巧匠造楼，其进度依二项式行之。若初始每日建十丈，速增之率为半成，工期三十日，问终成之高几何？”

诸生苦思冥想，终得答案。

戴浩文曰：“汝等可知，二项式定理于天文历法、水利工程，亦多有用处。如测星辰之轨迹，算河水流速，皆可依此理推之。”

遂又举例详解，诸生如痴如醉，沉浸其中。