第 201 章 二项式定理的奇妙世界

在学子们对导数的应用有了更深入的理解和熟练掌握之后，戴浩文决定开启新的数学篇章，为他们带来有趣且实用的知识——二项式定理。

新的一天，阳光透过窗户洒进讲堂，戴浩文精神抖擞地站在讲台上，看着充满期待的学子们，微笑着说道：“同学们，今天咱们要一起探索一个新的数学领域——二项式定理。”

他转身在黑板上写下了一个简单的二项式表达式：(a + b)^2 。

“大家先回想一下，我们之前学过的乘法运算，(a + b)^2 展开应该是什么呢？”戴浩文问道。

学子们纷纷动笔计算，不一会儿，就有声音回答：“是 a^2 + 2ab + b^2 。”

戴浩文点点头，接着说：“那如果是 (a + b)^3 呢？”

这一下，学子们计算的时间稍微长了一些，但最终还是得出了正确的结果：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 。

戴浩文笑着说：“不错不错，那大家有没有发现其中的规律呢？”

学子们陷入了沉思，戴浩文见状，开始引导他们：“我们来看每一项的系数，还有 a 和 b 的指数，是不是有一定的特点？”

经过一番思考和讨论，有学子举手发言：“先生，系数好像是有一定的排列规律。”

戴浩文赞许地说：“对！这就是我们即将要学习的二项式定理的一部分。接下来，我们正式来学习二项式定理的一般形式。”

他在黑板上写下了二项式定理的公式：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n - 1)b + C(n, 2)a^(n - 2)b^2 + … + C(n, r)a^(n - r)b^r + … + C(n, n)b^n 。

看着学子们一脸疑惑的表情，戴浩文解释道：“这里的 C(n, r) 叫做组合数，表示从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数。”

为了让学子们更好地理解组合数，戴浩文又花了一些时间讲解了组合数的计算方法：C(n, r) = n! / (r!(n - r)!) 。

“那我们来实际计算一下，(a + b)^4 展开式是什么。”戴浩文说道。

学子们按照刚刚所学的知识，一步一步地计算着。

“首先，n = 4 ，那么第一项的系数 C(4, 0) 等于 1，所以第一项是 a^4 。第二项 C(4, 1) 等于 4，所以是 4a^3b 。大家继续算下去。”戴浩文在一旁耐心地指导。

经过一番努力，学子们算出了 (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 。

戴浩文接着说：“那如果我们给定一个具体的数值，比如 (1 + 2)^3 ，大家能快速算出结果吗？”

学子们纷纷动笔，很快就得出了答案 27 。

“很好，那我们再来看二项式定理的一些应用。”戴浩文又在黑板上写下了一道题目：“已知 (x + 1)^5 ，求展开式中 x^3 的系数。”

学子们开始思考，有一位学子站起来说：“先生，我们先根据二项式定理展开，找到 x^3 那一项的系数。”

戴浩文鼓励道：“非常好，那你来试试。”

这位学子走上讲台，边写边说：“C(5, 3) = 10 ，所以 x^3 的系数是 10 。”

戴浩文点头称赞：“完全正确！那我们再来看这道题。”

他写下：“求 (2x - 1)^6 展开式中的常数项。”

这道题稍微有点难度，学子们纷纷讨论起来。

戴浩文提示道：“大家想想，常数项是哪一项？”

经过一番思考和讨论，有学子回答：“当 x 的次数为 0 时，就是常数项。”

戴浩文笑着说：“对，那我们来找找 x 的次数为 0 的那一项。”

最终，学子们算出了常数项为 1 。

戴浩文接着说：“二项式定理在数学中有很多用处，比如可以用来近似计算、证明一些不等式。我们来看这个例子。”

他在黑板上写下：“证明 (1 + x)^n ≥ 1 + nx （当 x ＞ -1 时，n 为正整数）。”

学子们又陷入了思考，戴浩文引导他们用二项式定理展开左边的式子，然后进行比较和证明。

经过一番努力，学子们成功地完成了证明。

“大家做得很棒！那我们再来看看二项式定理在概率问题中的应用。”戴浩文说道。

他举例道：“假设进行 n 次独立重复试验，每次试验成功的概率为 p ，失败的概率为 1 - p 。那么恰好成功 k 次的概率可以用二项式定理来表示。”