第 133 章 深探等差数列

在经历了梯形中位线和其他数学知识的传授与交流后，戴浩文决定在接下来的讲学中，引领学子们深入探索等差数列这个充满奥秘的数学领域。

这一日，阳光透过窗棂洒在学堂的地面上，戴浩文神色庄重地站在讲台上，看着台下一双双充满求知欲的眼睛，缓缓开口道：“诸位学子，今日我们将进一步深入探究等差数列之妙处。”

学子们纷纷挺直了腰杆，全神贯注地准备聆听戴浩文的讲解。

戴浩文在黑板上写下了一个等差数列的例子：“2，5，8，11，14……”，然后问道：“谁能说一说这个数列的公差是多少？”

一位学子立刻举手回答道：“先生，公差为 3。”

戴浩文点了点头，接着问道：“那它的通项公式又该如何表示呢？”

课堂上陷入了短暂的沉默，随后一位聪明的学子站起来说道：“先生，通项公式应为 an = a1 + (n - 1)d ，在此例中，a1 = 2，d = 3，所以通项公式为 an = 2 + 3(n - 1) 。”

戴浩文微笑着表示肯定：“不错。那我们来思考一下，如果已知等差数列的第 m 项和公差，如何求出首项呢？”

学子们纷纷拿起笔，在纸上开始计算和推导。

过了一会儿，一位学子说道：“先生，我觉得可以通过 am = a1 + (m - 1)d 这个式子变形求出首项 a1 。”

戴浩文鼓励道：“很好，那你具体说一说。”

学子接着道：“将式子变形为 a1 = am - (m - 1)d ，这样就可以通过第 m 项和公差求出首项了。”

戴浩文满意地说道：“非常正确。那我们再深入一些，若已知等差数列的前 n 项和 Sn ，以及项数 n 和公差 d ，如何求首项 a1 呢？”

这个问题显然更具难度，学子们陷入了深深的思考之中。

这时，一位平时就善于思考的学子站起来说道：“先生，我觉得可以先根据等差数列的前 n 项和公式 Sn = n(a1 + an) / 2 ，将 an 用通项公式表示出来，然后代入求解。”

戴浩文眼中露出赞赏之色：“思路很好，那你来给大家详细推导一下。”

学子走到黑板前，开始认真地推导起来：“因为 an = a1 + (n - 1)d ，所以 Sn = n(a1 + a1 + (n - 1)d) / 2 ，化简后得到 Sn = n[2a1 + (n - 1)d] / 2 ，进一步变形可得 2Sn = n(2a1 + (n - 1)d) ， 2Sn = 2na1 + n(n - 1)d ， 2a1 = (2Sn - n(n - 1)d) / n ，最终得出 a1 = (2Sn - n(n - 1)d) / 2n 。”

戴浩文带头鼓掌：“推导得非常精彩！那我们再来看一个实际应用的例子。假设一个等差数列的前 10 项和为 150 ，公差为 2 ，求首项。谁能来解一下？”

学子们纷纷埋头计算，不一会儿，一位学子举手说道：“先生，我算出来了。根据刚才推导的公式，a1 = (2×150 - 10×9×2) / 20 = 6 。”

戴浩文点了点头：“正确。那我们再思考一下，如果已知等差数列的前三项和为 12 ，且前三项的平方和为 40 ，如何求这个数列的通项公式呢？”

这个问题让学子们感到有些棘手，但他们并没有退缩，而是相互讨论，尝试着寻找解题的方法。

过了许久，一位学子说道：“先生，我设这三项分别为 a - d ，a ，a + d ，然后根据已知条件列出方程组，可以求出 a 和 d ，进而得到通项公式。”

戴浩文说道：“那你来具体解一下这个方程组。”

学子在黑板上写道：“(a - d) + a + (a + d) = 12 ， (a - d)2 + a2 + (a + d)2 = 40 。 解第一个方程得 3a = 12 ，a = 4 。将 a = 4 代入第二个方程得 (4 - d)2 + 16 + (4 + d)2 = 40 ，化简得到 16 - 8d + d2 + 16 + 16 + 8d + d2 = 40 ， 2d2 = 40 - 48 ， 2d2 = -8 ，d2 = -4 （舍去）或者 d = 2 ，d = -2 。所以当 d = 2 时，通项公式为 an = 2 + 2(n - 1) = 2n ；当 d = -2 时，通项公式为 an = 8 - 2(n - 1) = 10 - 2n 。”

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戴浩文说道：“解得很好。那我们再来看一个更复杂的问题。已知一个等差数列的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn / n 是一个等差数列，求这个原数列的通项公式。”

学子们再次陷入沉思，这次讨论的时间更长了。

终于，一位学子说道：“先生，我觉得可以先设 Sn / n 的通项公式，然后通过 Sn - Sn - 1 求出原数列的通项公式。”

戴浩文说道：“不错，那你来试试看。”

学子开始推导：“设 Sn / n = bn ，则 bn = b1 + (n - 1)c ，Sn = n(b1 + (n - 1)c) ，当 n ≥ 2 时，an = Sn - Sn - 1 = n(b1 + (n - 1)c) - (n - 1)(b1 + (n - 2)c) ，化简后得到 an = b1 + (2n - 2)c - (n - 1)c = b1 + (n - 1)c ，当 n = 1 时，a1 = S1 = b1 ，所以 an = b1 + (n - 1)c 。”